Pole k-ter Ordnung und hebbare Singularitäten, Funktionentheorie (Folge 304)

Warum zeigen Pole k-ter Ordnung und hebbare Singularitäten im Gegensatz zu wesentlichen Singularitäten in der Umgebung dieser Punkte ein vergleichsweise überschaubares Verhalten und wie lässt sich ohne Kenntnis der Laurentreihe überprüfen, ob ein Pol k-ter Ordnung oder eine hebbare Singularität vorliegt?

Dipl. Physiker Dietmar Haase beweist in diesem Video, dass Pole k-ter Ordnung und hebbare Singularitäten in der Umgebung dieser Punkte ein relativ überschaubares Verhalten zeigen. Es wird einerseits gezeigt, dass komplexe holomorphe Funktionen mit hebbaren Singularitäten in diesen Punkten komplex holomorph fortgesetzt werden können und andererseits, dass komplexe holomorphe Funktionen mit einem Pol k-ter Ordnung in der Umgebung dieser Punkte gegen unendlich divergieren. Außerdem wird für Pole k-ter Ordnung und hebbare Singularitäten ein handliches Verfahren zur Verfügung gestellt, mit dem man die
Art der isolierten Singularitäten ermitteln kann, ohne explizit die Laurentreihe zu kennen. Eine holomorphe Funktion die als isolierte Singularitäten nur Pole k-ter Ordnung besitzt, bezeichnet man als meromorphe Funktion. An ausgewählten Beispielaufgaben wird gezeigt, wie sich Funktionen mit hebbaren Singularitäten holomorph fortsetzen lassen und wie man ohne die Laurentreihe zu kennen, die Ordnung von Polen bestimmt.

Eine Vielzahl von Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen zu diesem Thema finden Sie im Lehr- und Übungsbuch ”Angewandte Mathematik für Ingenieure” Band 11: Funktionentheorie

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