제곱근의 연산 규칙이 궁금했던 분들이라면 꼭 보세요 | 루트 2는 무엇인가 | 데데킨트 칸토어

영수의 본질, 본질적 초/중/고 수학 수업
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안녕하세요. 이번 영상에서는 많은 학생들이 잘 외우고는 있지만 왜 성립하는지 그 이유는 잘 모르고 있는 식인 "루트 2 곱하기 루트 3 = 루트 6"에 대해서 이야기해보게 되었습니다.

사실 이것을 증명하는 것은 중학교 단계 혹은 고등학교 단계를 넘어가는 것이기 때문에, 학생들이 이 식이 왜 성립하는지 궁금해는 해도 제대로 설명을 들을 수 없는 것이 현실입니다.

이것을 정확히 알기 위해서는 실수가 무엇인지부터 알아야 하고, 실수의 연산규칙은 또 어떻게 정의되는지를 알아야 하는데 이번 영상에서 그 부분을 다루어보았습니다. 그간 궁금했던 분들에게 도움이 되었으면 좋겠습니다.

(무한소수의 연산 규칙을 소개한 페이지의 링크는 다음과 같습니다: https://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/de...)

[무한소수의 곱셈에서 결합법칙이 성립하는 이유]

어떤 무한소수 a, b, c가 있을 때 각 무한소수를 소수점 각 자리에서 잘라서 유한소수를 만들고, 그 수들을 차례대로 a_1, a_2, a_3, .. , b_1, b_2, b_3, ..., c_1, c_2, c_3, ... 라고 하자.
(예를 들어 a=루트 2 이면, a_1 = 1.4, a_2 = 1.41, a_3 = 1.414, ....)
또한 a*b, b*c가 나타내는 무한소수를 각각 d, e라 하고, 그 무한소수를 각 자리에서 잘라서 유한소수를 만들었을 때 그 수들을 각각 d_1, d_2, d_3,..., e_1, e_2, e_3, ... 라고 하자.
결합법칙이 성립한다는 것을 보이려면 (a*b)*c = a*(b*c)를 보여야 하고, 다시 말해 d*c = a*e임을 보여야 한다.
먼저 d*c 는 무한소수의 곱셈 규칙에 따라 d_1*c_1, d_2*c_2, d_3*c_3 ... 가 가까이 가는 무한소수로 정해준다. 그런데 그 무한소수는 (a_1*b_1)*c_1, (a_2*b_2)*c_2, (a_3*b_3)*c_3 ... 가 가까이 가는 무한소수와 같다.
왜냐하면 a_1*b_1, a_2*b_2, a_3*b_3 ... 가 가까이 가는 무한소수와 d_1, d_2, d_3... 가 가까이 가는 무한소수가 같고, (다시 말해 (a_1*b_1) - d_1, (a_2*b_2) - d_2, (a_3*b_3) - d_3 ... 는 0으로 수렴하고,) c_1, c_2, c_3 .... 들은 모두 상한(an upper bound)과 하한(a lower bound)이 있기 때문이다.
마찬가지로 a*e는 무한소수의 곱셈 규칙에 따라 a_1*e_1, a_2*e_2, a_3*e_3 ... 가 가까이 가는 무한소수로 정해주는데, 그 무한소수는 a_1*(b_1*c_1), a_2*(b_2*c_2), a_3*(b_3*c_3) ... 가 가까이 가는 무한소수와 같다.
그런데 유리수의 곱셈에서 결합법칙이 성립하기 때문에 (a_1*b_1)*c_1 = a_1*(b_1*c_1), (a_2*b_2)*c_2 = a_2*(b_2*c_2), (a_3*b_3)*c_3 = a_3*(b_3*c_3) ... 가 성립하고, 따라서 (a_1*b_1)*c_1, (a_2*b_2)*c_2, (a_3*b_3)*c_3 ... 가 가까이 가는 무한소수와 a_1*(b_1*c_1), a_2*(b_2*c_2), a_3*(b_3*c_3) ... 가 가까이 가는 무한소수는 같다.
따라서 d*c = a*e가 성립하고, 최종적으로 (a*b)*c = a*(b*c)가 성립한다.

#제곱근 #실수 #루트2