Функториальное A∞–копроизведение на комбинаторно-симплициальном цепном комплексе. Городенцев А. Л.

"Функториальное A_\infty - копроизведение на комбинаторно-симплициальном
цепном комплексе, трансформирующееся само в себя при барицентрическом
разбиении"

Комбинаторный симплициальный комплекс -
это триангулированное пространство, в котором каждый симплекс
триангуляции однозначно задаётся своими вершинами. На вычисляющем
гомологии такого пространства симплициальном цепном комплексе
имеется функториальное (по отношению к отображениям комбинаторных
симплициальных комплексов, в частности, эквивариантное относительно
симметрической группы, переставляющей вершины симплекса)
копроизведение, придуманное в В 30-е годы прошлого века
Колмогоровым, когда умножение в когомологиях находилось только
в разработке. Умножение Колмогорова не ассоциативно, только
гомотопически ассоциативно. Его упрощённая (не функториальная)
версия - умножение Колмогорова-Александера - тогда как раз и было
использовано для построения умножения в когомологиях, после чего
оригинальная идея была надолго забыта. В наше дотошное время
естественно возник вопрос о продолжении копроизведения Колмогорова
до функториальной (L_)\infty-структуры на симплициальных
цепях. Среди всех таких продолжений хочется выбрать в том или ином
смысле замечательное. В качестве таковой замечательности
предлагается следующее свойство. Над полем Q имеется единственная
функториальная строгая гомотопическая ретракция между симплициальным
цепным комплексом комбинаторно-триангулированного пространства и
симплициальным цепным комплексом его барицентрического разбиения.
Вдоль строгих гомотопических ретракций \infty-структуры
можно канонически переносить (так называемый homotopy transfer,
или "сумма по декорированным деревьям"). Я постараюсь объяснить,
почему на симплициальных цепях существует единственное
функториальное L_\infty копроизведение,
которое переносится само в себя при
канонической гомотопической ретракции с барицентрического разбиения.
К сожалению, явно вычислить такое копроизведение нам с
Андреем Лосевым удалось только в одномерии, т.е.
для отрезка. Ответ даётся рядом Тодда, и получается
довольно нетривиальными манипуляциями с числами Бернулли.
Такой же ответ возникает в ряде других задач про старшие
гомотопические структуры на градуированных алгебрах Ли, что,
видимо, одно с другим связано, но я до конца не понимаю как.
В общем, задач в моём докладе будет больше, чем ответов.
Разумеется, все непонятные слова и все задействованные конструкции
будут исчерпывающе объяснены.